3장 선형대수(13절:고윳값과 고유벡터) - 기본편 - 인공지능을 위한 수학

 

교재링크(광고 아님): freelec.co.kr/book/인공지능을-위한-수학/

 

 

고유벡터(eigenvector) : 어떤 0이 아닌 벡터에 대한 선형변환(linear transformation)의 결과가 그 자신의 스칼라배(scalar multiplication)로 나타나는 벡터

고윳값(eigenvalue) : 위 고유벡터를 선형변환한 결과가 원래 벡터의 몇배가 되는지를 나타내는 값

고유방정식(eigenvalue equation) : 고유벡터를 구하는 방정식. 간단히 eigenequation이라고도 씀. 내용은 후술하겠음.

자명해(trivial solution) : 너무도 당연해서 의미가 없는 해

비자명해(nontrivial solution) : 방정식의 주요 해 (자명해의 반대)

 

※ 선형변환 행렬의 크기가 2x2를 넘게 되면 복잡해지므로, 2x2로 한정한다. 1x1은 의미가 없다.

기본적으로 어떤 선형변환 T(x)에 대한 고유벡터(eigenvector) v가 존재한다고 하면 아래의 수식을 만족하게 된다.

$$ T(\vec v) = \lambda \vec v \tag1 $$

여기서 λ(람다)는 바로 고유값(eigenvalue)을 나타낸다.

선형변환을 변환행렬(transformation matrix) A로 놓고 고유벡터 v를 열벡터 u로 놓고 식을 만들어보면,

$$ Au = I u $$

$$ (A - \lambda I)u = 0 $$

 

위 식에서 (A - λＩ) 이 가역 행렬이라면 벡터 v 행는 영벡터(zero vector)라는 자명해(trivial solution) 밖에 가질 수가 없다. 때문에, 벡터 v가 고유벡터가 되려면 (A - λＩ) 의 행렬식(determinant)가 0이어야 한다. 즉,

$$ det(A - \lambda I) = 0 $$

 

교재에서는 위 행렬식이 고유방정식(eigenvalue equation)처럼 표현이 되었는데, 그렇지 않고 저 위의 (1)번 식이 고유방정식이다.

참고로 위 행렬식은 특성방정식(characteristic equation)이라고 부른다.

 

변환행렬 A가 아래와 같을 경우에 대한 특성방정식을 구해 보면,

$$ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} $$

$$ A - \lambda I = \begin{bmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 1 & 2 - \lambda \end{bmatrix} $$

$$ det(A - \lambda I) = (2 - \lambda)(2 - \lambda) - 1 \cdot 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0$$

 

2차 방정식이므로 근의 공식(quadratic formula)을 이용해도 되지만, 직관적으로 인수 분해가 된다.

$$ \lambda^2 - 4\lambda + 3 = (\lambda - 3)(\lambda - 1) = 0 $$

 

결국 고유값은 1, 3 두개가 되겠다. 이를 통해 고유벡터를 구하는 일은 누워서 떡먹기으므로 생략한다.

 

한편, 고유벡터와 고유값이 실수가 아닌 경우가 존재하는지에 대해서는 아래의 포스트에 따로 담아 보았다.

2차원 회전행렬(Rotation Matrix)의 고유벡터(Eigenvector)는?