2차원 회전행렬(Rotation Matrix)의 고유벡터(Eigenvector)는?

 

고유벡터의 조건은 영벡터(zero vector)만 아니면 된다. 즉, 실수 값일 필요가 없다는 의미이다. 왜 그런지 2차원 회전행렬의 고유벡터를 구해보겠다. 기술의 편의를 위해 반시계방향 90도로 놓고 구한다.

우선 회전행렬은 꼴은

$$M = \begin{bmatrix} \cos90^\circ & -\sin90^\circ \\ \sin90^\circ & \phantom{-} \cos90^\circ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & \phantom{-} 0 \end{bmatrix}$$

 

이제 특성방정식(characteristic equation)을 구한다.

$$A - \lambda I = \begin{bmatrix} 0 - \lambda & -1 \\ 1 & \phantom{-} 0 - \lambda \end{bmatrix}$$ $$det(A - \lambda I) = (0 - \lambda)(0 - \lambda) - (-1 \cdot 1) = \lambda^2 + 1 = 0 \tag1$$

 

모양새가 영... 인수 분해가 불가능하게 생겼다. 근의 공식(quadratic formula)을 이용해야 겠다. 너무 유명한 공식이니 과정은 생략하고...

$$\text{(1)에 대해} \quad a\lambda^2 - b\lambda +c = \lambda^2 - 0\lambda +1 = 0$$ $$\text{즉,} \quad a = 1, b = 0, c = 1$$ $$\lambda = \pm \; \frac{\sqrt{-4}}{2} = \pm \; \frac{\sqrt{4}\sqrt{-1}}{2} = \pm \; \sqrt{-1}$$ $$\lambda = \pm \; i \quad \text{(허수, imaginary)}$$

 

아이겐밸류(eigenvalue/고유값/람다 기호)가 허수(imaginary)다. 즉, 켤레 복소수(complex conjugate)가 고유값이다. 이 값으로 아이겐벡터를 구하면(과정 생략),

$$\vec{v}_{\lambda = i} = (1, i) \quad,\quad \vec{v}_{\lambda = -i} = (i, 1)$$

 

위 결과에 따라 고유벡터가 2차원 좌표계에 존재하지 않는다는 사실을 알 수 있다. 다르게 해석해본다면, 회전행렬은 좌표계 내의 모든 벡터의 방향을 바꾼다는 것을 뜻한다.

 

※ 이 포스트는 아래의 포스트의 파생 포스트임

3장 선형대수(13절:고윳값과 고유벡터) - 기본편 - 인공지능을 위한 수학