4장 확률과 통계(1절:확률) - 기본편 - 인공지능을 위한 수학

 

교재링크(광고 아님): freelec.co.kr/book/인공지능을-위한-수학/

 

 

사건(event) : 어떤 작업 시행(experiment)의 결과(outcome)들 중 특정 결과들의 집합(set). event 용어 자체는 단수(singular)지만 집합의 의미이기 때문에 한 event에 속한 결과는 하나 이상이다. 옛 표현으로 '사상(事象)'으로 불렀다고도 하는데, 아마도 이런 집합의 개념 때문인 듯 하다.

경우의 수(number of cases) : 사건의 (집합이므로)원소 개수. 여러 사건이라면 각 개수를 합한다.

확률(probability) : 사건이 일어날 가능성을 수치로 표현한 것. 1이 최대값이고 0이 최소값이다. 확률 공식은 교재와 다르게 한 번 표현해 보았다.

$$확률 = \frac{\text{사건의 경우의 수}}{\text{시행으로 나올 수 있는 모든 결과의 경우의 수}}$$

조합(combination) : 어떤 원소 n개를 가진 집합에서 아무 원소나 중복 없이 k개를 뽑을 모든 경우의 수. 아래와 같은 공식을 갖는다. (교재와 달리 편하게 계승(factorial)로 표현한다.)

$$_nC_k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

여사건(complementary event) : 특정 사건(들)을 제외한 나머지 사건(들). 집합 개념으로 설명하면 작업 시행으로 나올 수 있는 모든 결과 집합에서 특정 사건(혹은 사건들)을 나타내는 집합을 뺀 것으로 볼 수 있다. 여사건의 원소 개수와 사건의 원소 개수를 합하면 모든 결과의 경우의 수와 같아진다.

사건과 여사건의 확률은 수식으로 표현이 가능한데, 우선 사건 A가 발생할 확률은 아래처럼 표현한다.

$$P(A)$$

P(x)를 함수라고 봤을 때 출력은 0~1까지의 실수다.

그리고, A의 여사건은 아래처럼 몇가지 방법으로 표현이 가능한데,

$$A^c \quad,\quad \bar{A} \quad,\quad A' \quad,\quad \ldots$$

수식으로 표현하면

$$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$$

 

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각 사건(event)들은 집합(set)이라고 위에 언급하였다. 그러므로, 사건끼리 교집합이나 합집합이 가능하며, 이 것들의 확률은 사칙연산으로 표현할 수도 있다.

두 개의 사건이 동시(혹은 연속)으로 발생하는 경우는 교집합이 되며, 확률은 곱셈으로 표현 가능하다.

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$

 

두 개의 사건 중 어느 하나라도 일어나는 경우는 합집합이며, 확률은 아래와 같이 사칙연산 표현이 가능하다.

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \\\ = P(A) + P(B) - P(A) \cdot P(B)$$

 

 

확률은 그 자체로는 개념이 쉬운 편이라 예제라든가 자세한 내용은 생략해도 괜찮을 것 같아서 이만 줄이려 한다.