3장 선형대수(9~11절) - 기본편 - 인공지능을 위한 수학

 

교재링크(광고 아님): freelec.co.kr/book/인공지능을-위한-수학/

 

3-9 행렬의 덧셈과 뺄셈

3-10 행렬의 곱셈

3-11 역행렬

 

 

3-9 행렬의 덧셈과 뺄셈

행렬(matrix) : 숫자를 네모 반듯하게(정방일 필요는 없다) 정렬하여 표기한 테이블(배열)

행(row) : 행렬의 세로 축

열(column) : 행렬의 가로 축

행렬의 크기 읽기 : 행길이 x 열길이 (ex. 2 x 3 -> 2 by 3 -> 2에 3 행렬) 순으로 읽는다. 때때로 그래픽 프로그래밍을 할 때는 가로축 부터 읽기 때문에 행렬을 읽는 방법과 반대라서 혼란이 올 때가 있다.

행렬의 합(matrix addition) : 크기가 같은 행렬인 경우에 각 원소를 더하여 새로운(크기가 같은) 행렬을 만들 수 있다.

행렬의 차(matrix subtraction) : 행렬의 합의 반대. 뺄 행렬에 -1 스칼라배를 하면 행렬의 합으로 표현이 가능하다.

 

 

3-10 행렬의 곱셈

행렬의 곱(matrix multiplication) : 두 행렬에 대해 앞 행렬의 열과 뒷 행렬의 행의 크기가 같을 경우에 이루어지는 곱셈. 결과는 앞 행렬의 열의 크기와 뒷 행렬의 행의 크기의 행렬이 도출된다.

벡터의 곱(dot product) : 벡터의 내적은 행렬의 곱으로 표현이 가능한데, 두 벡터 중 하나를 행벡터로 나머지를 열벡터로 놓고 행렬곱을 하면 내적 공식과 동일한 계산이 가능하다. 응용하면, 다수의 벡터들을 행렬로 놓고 한번에 내적을 구할 수 있겠다. 아쉬우니 예를 하나 들어본다.

$$ \vec a = (a_1, a_2, a_3) \quad, \quad \vec b = (b_1, b_2, b_3) $$

$$ \langle \vec a, \vec b \rangle = \vec a \cdot \vec b^\intercal = \begin{pmatrix} a_1 \ a_2 \ a_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1 \\\ b_2 \\\ b_3 \end{pmatrix} $$

$$ = a_1 \times b_1 + a_2 \times b_2 + a_3 \times b_3 $$

 

영행렬(zero matrix) : 행렬의 모든 원소가 0인 행렬

정방행렬(square matrix) : 가로(열) 세로(행) 길이가 같은(정사각) 행렬

단위행렬(identity matrix) : A * B = A가 나오는 B. 정방행렬에 대해서만 유효하며 행렬의 대각선(행번호 = 열번호) 원소들만 1이고 나머지 원소는 0이다. 행렬 이름은 E로 칭한다. 3 x3 단위 행렬의 예는

$$ E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\ 0 & 1 & 0 \\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

 

 

3-11 역행렬

역수(reciprocal) : 어떤 수에 -1승을 한 수. 곱셈 역원(multiplicative inverse)이 좀 더 포멀한 용어인 듯 하다. 원래의 수와 역수를 곱하면 항상 1이 되어야 하므로, 0의 역수는 없다.

가역행렬(invertible matrix) : 어떤 행렬과 곱한 결과가 E(단위행렬)가 되는 행렬이 존재하는 행렬. 단위 행렬이 나온다는 것은 정방행렬에만 유효하다는 의미.

역행렬(inverse matrix) : 가역행렬의 상대 행렬. 숫자의 역수와 비슷하다. 표기 및 특징은 아래와 같다.

$$ A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = E $$

행렬식(determinant) : 어떤 행렬이 가역 행렬인지 판별하는 식. 이외에 더 복잡하 곳에도 쓰이는 듯 하다. 영문명칭이 determinant인데, 행렬식과 와닿지 않는다. 마땅한 용어가 없던 것으로 보인다. 기호로는 detA, det(A), |A| 등이 쓰인다. 행렬식의 값이 0인 경우에는 역행렬이 존재하지 않는다.

2x2 행렬의 행렬식 : 아래와 같은 행렬이 있다 했을 때

$$ A = \begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix} $$

$$ detA = ad - bc $$

 

2x2 행렬의 역행렬 공식 : 위 A 행렬을 예로 들어 아래와 같이 구한다.

$$ A^{-1} = \frac{1}{detA} \cdot \begin{pmatrix} d & {-b} \\\ {-c} & a \end{pmatrix} $$

이 공식에 따라 행렬식의 값이 0일 때 역행렬이 없음을 알 수 있다.

 

가우스 소거법(Gaussian elimination) : 연립방정식을 푸는 알고리듬인데, 2x2 보다 큰 행렬의 행렬식을 구할 때도 쓰인다고 한다.

여인자 전개(cofactor expansion) : 라플라스 전개(Laplace expansion)라고도 부르며 용도는 다양하고, 역시 2x2 보다 큰 행렬의 행렬식을 구할 때도 쓰인다고 한다.