3장 선형대수(1~3절) - 기본편 - 인공지능을 위한 수학

 

교재링크(광고 아님): freelec.co.kr/book/인공지능을-위한-수학/

 

3-1 벡터

3-2 덧셈과 뺄셈, 그리고 스칼라배

3-3 유향선분

 

 

3-1 벡터

벡터(vector) : '여러개의 데이터를 한 줄에 담아낸 것'이라고 교재에 쓰여 있음.

※ 위키피디아를 살펴보니 위의 정의는 본래 튜플(tuple)의 정의이지만, 벡터와 특별히 구분 없이 쓰이는 것이라고 한다. 또한, 교재에서는 위의 정의 때문에 C++ 언어에서 vector라는 자료구조가 있다고 하는데, 스택오버플로우에 의하면 STL(Standard Template Library)의 원작자가 vector의 뜻을 잘못 알고 명명한 것이 굳어진 것이라고 한다.

※ 벡터는 많은 분야에서 너무 다양하게 쓰이고 있기 때문에 딱 부러지게 정의하기는 어렵고, 인공지능 분야에서 얘기하는 벡터는 유클리드 기하학(Euclidean geometry) 상에서의 벡터를 뜻하는 것 같다.

 

원소(element) : 벡터 내의 각각의 데이터(성분).

※ 원소는 세트가 무어냐에 따라 달라진다. 예를 들어 벡터공간의 원소는 벡터 자체가 된다.

 

벡터 공간(vector space) : 동일 차원의 벡터들이 모여 있는 공간

행벡터(row vector) : 행렬에서 행이 하나인 행렬. 열의 개수는 고정. 표기 방법은 아래처럼.

$$ \vec a = ( a_1, a_2, ..., a_n ) $$

 

열벡터(column vector) : 행렬에서 열이 하나인 행렬. 행의 개수는 고정. 표기 방법은 아래처럼.

$$ \vec b = \begin{pmatrix} b_1 \\\ b_2 \\\ \vdots \\\ b_n \end{pmatrix} $$

위의 표기는 공간낭비가 매우 심하다. 그래서, 아래와 같이 T(transpose, 전치)를 이용하여 한줄로 표현하기도 한다.

$$ \vec b = ( b_1, b_2, ..., b_n )^ \intercal $$

 

 

3-2 덧셈과 뺄셈, 그리고 스칼라배

차원(dimension) : 간단히 벡터의 성분 개수라고 생각하면 편함. 실은 벡터 공간에 연관된 개념이라 제대로 이해하려면 너무 복잡해진다.

덧셈/뺄셈(addition/subtraction) : 벡터의 각 성분의 덧셈이나 뺄셈. 차원이 동일한 벡터끼리만 셈이 가능하다.

스칼라배(scalar multiplication) : 벡터의 모든 성분을 동일한 값으로 곱하는 작업

 

 

3-3 유향선분

유향선분(directed line segment) : 그래프 상에 벡터를 화살표로 표현한 것. 그림 예를 보면 쉽게 알 수 있음.

출처 : 위키피디아

 

평행사변형법칙(parallelogram law) : 평행사변형법(parallelogram method)라고도 하는데, 벡터의 합이나 차를 구하기 위해 차용하는 법칙이다.

출처 : 위키피디아

 

※ 한편, 교재의 역자께서 음수 스칼라배를 할 경우에 대해 아래와 같은 각주를 남겼다.

역자주 : 음수로 스칼라배를 하면 방향이 반대가 되긴 하나 이때는 '같은 방향인데 길이가 마이너스' 라고 간주합니다.

 

이 내용은 사실이 아니다.

벡터에 음수 스칼라배를 한다는 것은 방향이 반대(opposite)가 된다는 의미이다. 벡터는 방향(direction)을 가지고 있다. 이 방향은 결국 각도를 의미한다. 음수 스칼라배는 이 각도에 180도를 더한다고 생각하면 된다.

사실 교재의 번역 내용을 보면 위의 역자주가 붙은 문장 바로 윗줄에 '-1을 곱했을 때 방향이 반대가 된다'고 명시가 되어 있어 각주의 변과 모순된다.

 

좀 더 명쾌한 설명을 위해 위키피디아 원문을 그대로 인용한다. 위키피디아가 완벽한 학술 자료는 아니지만, 글로벌한 사이트이며 집단지성이 작용하기 때문에 내용이 틀릴 가능성은 거의 없다는 점을 참고하시기 바란다.

In a vector space the additive inverse −v is often called the opposite vector of v; it has the same magnitude as the original and opposite direction. Additive inversion corresponds to scalar multiplication by −1. For Euclidean space, it is point reflection in the origin. Vectors in exactly opposite directions (multiplied to negative numbers) are sometimes referred to as antiparallel. from : https://en.wikipedia.org/wiki/Additive_inverse