2장 미분(1절:극한) - 기본편 - 인공지능을 위한 수학

 

교재링크(광고 아님): freelec.co.kr/book/인공지능을-위한-수학/

 

2-1 극한

수렴(convergent) : 함수의 출력이 특정 값에 가까워 지는 상태 (형용사인게 중요)

※ 발산(divergent) : 수렴의 반대 상태. 양/음의 무한대로 가거나, 진동하는 상태.

극한(limit) : 특정값에 최대한 근접한 값을 임의의 함수에 입력으로 넣어주는 함수

불능(undefined) : 출력값의 도출이 불가능한 상태. 예를 들어 1을 0으로 나누기.

부정(indeterminate) : 값을 결정할 수 없는 상태. 예를 들어 0을 0으로 나누거나 무한대를 무한대로 나누기.

 

극한의 논리는 특정값에 최대한 근접시키는 것을 무한히 반복하면 결국 특정값이 된다는 것이다. 특정값을 바로 함수의 입력으로 넣으면 불능 또는 부정이 되지만 극한으로 아득히 보낸다면 불능/부정이 벗겨질 수 있도록 할 수 있다는 것. 여기서 들어갈 특정값은 어떤 수도 가능하다. 무한대까지도.

여러가지 예를 들어 본다.

$$ f(x) = \frac{1}{x} $$

이 함수는 출력을 0으로 만들 수 있는 입력이 없다. 하지만, x를 무한대로 무한(?)히 접근시키면

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 $$

이런 결과를 만들 수 있다. 즉, x가 무한대에 접근하는 만큼 출력은 0에 수렴하게 된다.

또, 아래와 같이

$$ f(x) = \frac{x}{x} $$

이 함수에 0을 넣으면 출력이 부정이 된다. x를 0으로 무한히 접근시키면

$$ \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1 $$

이 될 수 있다. 마찬가지로 소거법을 이용하면 함수가 1이라는 상수로 유도되기 때문에 극한값의 유추가 가능하겠다.

 

극한을 반대로 보내면 수렴하던 함수는 발산할 수 있다. 예를 들어 위에 보인 1/x 에 대해 x를 0으로 보내면

$$ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty $$

이와 같이 무한대가 된다. 무한대는 불능(undefined)의 의미도 있지만, 발산이라는 뜻이 더 크다.

 

교재에는 아래와 같은 수식으로 극한을 설명하고 있다.

$$ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} $$

이 함수의 극한값은 대수적(소거법)으로 푸는 방법과 값을 근접시켜 값를 유추하는 방법으로 구할 수 있다.

먼저 소거법을 이용하면

$$ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1 $$

위와 같이 정리하면 x에 1을 바로 대입할 수 있을 것 같지만, 본래의 함수가 1에 대해 불능(undefined)이기 때문에 유도된 함수 역시 x=1에 대해 불능이다. 하지만, 극한을 씌우게 되면 불능이 벗겨지므로 출력을 구할 수 있다.

$$ \lim_{x \to 1} x+1 = 2 $$

 

극한값을 유추하는 방법은 x에 1에 가까운 수를 대입해 보는 것이다. 예를 들어 x에 1.001과 0.999를 넣으면 2.001과 1.999가 나온다. 이를 통해 x를 1의 극한으로 보내면 출력으로 2가 나온다는 것을 유추해 볼 수 있다.

 

극한은 그 자체로도 의미가 있지만, 고교 교과 과정 상으로는 미분을 배우기 위한 선행학습 정도로 볼 수 있다. 하지만, 미분은 극한 개념이 없으면 정의 자체가 안되므로 기초를 닦는다 생각하고 확실히 학습해 두어야 한다.