2장 미분(3절:상미분과 편미분) - 기본편 - 인공지능을 위한 수학

 

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2-3 상미분과 편미분

상미분(ordinary derivative) : 변수가 하나인 함수의 미분

상미분의 몇가지 공식 예

$$ y = x^r \text{ 일 때 } \frac{dy}{dx} = rx^{r-1} $$

$$ \frac{d}{dx}\{f(x) + g(x)\} = \frac{df(x)}{dx} + \frac{dg(x)}{dx} $$

$$ \frac{d}{dx}\{kf(x)\} = k \frac{df(x)}{dx} $$

 

전미분(total derivative) : 변수가 하나 이상인 함수의 미분. 상미분도 전미분의 일종이지만, 일반적으로는 두개 이상의 변수를 가진 함수의 미분을 지칭한다.

... 전미분은 상당히 난해한 내용이라 차후에 다른 포스트로 작성할 예정 ...

 

편미분(partial derivative) : 변수가 두 개 이상인 함수에서 하나의 변수를 제외한 나머지 변수를 상수로 놓고 미분한 것을 뜻한다.

편미분의 예를 들어본다. 

$$ f(x, y) = 2x^2 + y^2 $$

이런 수식이 있다고 했을 때, 우선 모든 변수에 대해 출력의 순간변화량은 아래와 같다.

$$ f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y) = 2(x+\Delta x)^2 + (y + \Delta y)^2 - (2x^2 + y^2) $$

 

수식을 정리한다.

$$ f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y) = 2\Delta x^2 + 4x\Delta x + \Delta y^2 + 2y\Delta y $$

 

이 수식에 대한 편미분은 x, y 각각 하나씩 도출이 될 수 있다.

우선 Δx를 극한으로 접근시키고 Δy = 0 으로 놓는다. 이 것을 x에 대한 편미분이라고 한다. 직접 계산해보면,

$$ \frac{\partial f(x, y)}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2\Delta x^2 + 4x\Delta x + \Delta y^2 + 2y\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} 2 \Delta x + 4x = 4x $$

 

y에 대한 편미분은

$$ \frac{\partial f(x, y)}{\partial y} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{2\Delta x^2 + 4x\Delta x + \Delta y^2 + 2y\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta y \to 0} \Delta y + 2y = 2y $$

 

사실 이렇게 어렵게 구할 필요는 없고 상미분에서 언급한 거듭제곱의 미분 공식을 이용하면 간단히 도출할 수 있다.

 

※ 위키에 따르면 편미분 기호(∂)를 읽는 방법은 매우 다양하다. 읽는 방법을 목록화해본다. 맘에 드는 것으로 골라 발음하면 될 것 같다.

• curly d
• rounded d
• curved d
• dabba
• Jacobi's delta
• del
• dee
• partial dee
• doh
• die
• ...