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2-3 상미분과 편미분
상미분(ordinary derivative) : 변수가 하나인 함수의 미분
상미분의 몇가지 공식 예
y=xr 일 때 dydx=rxr−1
ddx{f(x)+g(x)}=df(x)dx+dg(x)dx
ddx{kf(x)}=kdf(x)dx
전미분(total derivative) : 변수가 하나 이상인 함수의 미분. 상미분도 전미분의 일종이지만, 일반적으로는 두개 이상의 변수를 가진 함수의 미분을 지칭한다.
... 전미분은 상당히 난해한 내용이라 차후에 다른 포스트로 작성할 예정 ...
편미분(partial derivative) : 변수가 두 개 이상인 함수에서 하나의 변수를 제외한 나머지 변수를 상수로 놓고 미분한 것을 뜻한다.
편미분의 예를 들어본다.
f(x,y)=2x2+y2
이런 수식이 있다고 했을 때, 우선 모든 변수에 대해 출력의 순간변화량은 아래와 같다.
f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)=2(x+Δx)2+(y+Δy)2−(2x2+y2)
수식을 정리한다.
f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)=2Δx2+4xΔx+Δy2+2yΔy
이 수식에 대한 편미분은 x, y 각각 하나씩 도출이 될 수 있다.
우선 Δx를 극한으로 접근시키고 Δy = 0 으로 놓는다. 이 것을 x에 대한 편미분이라고 한다. 직접 계산해보면,
∂f(x,y)∂x=limΔx→02Δx2+4xΔx+Δy2+2yΔyΔx=limΔx→02Δx+4x=4x
y에 대한 편미분은
∂f(x,y)∂y=limΔy→02Δx2+4xΔx+Δy2+2yΔyΔx=limΔy→0Δy+2y=2y
사실 이렇게 어렵게 구할 필요는 없고 상미분에서 언급한 거듭제곱의 미분 공식을 이용하면 간단히 도출할 수 있다.
※ 위키에 따르면 편미분 기호(∂)를 읽는 방법은 매우 다양하다. 읽는 방법을 목록화해본다. 맘에 드는 것으로 골라 발음하면 될 것 같다.
- curly d
- rounded d
- curved d
- dabba
- Jacobi's delta
- del
- dee
- partial dee
- doh
- die
- ...
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