직선(Line)은 벡터 공간(Vector Space)인가?

 

결론부터 말하자면 모든 직선은 벡터공간이라고 생각하면 되는 것 같다.

 

왜 의문이 들었냐하면, 영문 위키로 벡터 공간을 공부하다가 아래 example 부분을 보게 되었는데...

https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space#Linear_equations

 

위 예제는 변수가 3개인 연립 1차 방정식에 대한 예인데, 우선 발췌해보면,

$$ a + 3b + c = 0 $$ $$ 4a + 2b + 2c = 0 $$

위 연립 방정식의 해(solution)를 나타내는 트리플(triple, 원소가 3개인 튜플)의 집합(set), 즉, 위에 대한 등식(equality)이 성립하는 임의의 (a, b, c)는 엄연히 벡터 공간이며 벡터 공간 자체가 방정식의 해라고 서술되어 있었다.

 

... 혼란스럽다. 1차 방정식에서 1차라는 단어는 해의 집합이 직선이라는 의미를 갖는다. 그리고, 직선은 공간을 차지하지 않는다. 왜? 너비가 0이다. 직선이 아무리 무한대로 우주 끝까지 늘어나도 너비가 0이니까 넓이는 0인 것이다. 공간이라 하면 뭔가 조금이라도 자기 영역이 있어야 하는 것 아닌가?

라고 생각했는데, 이 전제가 틀린건가 라는 생각이 문득 들었다. 왜냐하면 직선이 모이면 평면이나 3차원 공간을 이루니까 조금이라도 자기 영역이 있나보다 하고 여길 수도 있지 않겠는가?

 

종국에는 공간(space)이라는 용어 자체에 대한 몰이해가 이런 혼란을 야기했다는 결론을 얻었다. 즉, 수학적으로는 넓이나 부피가 0인 공간이 당연히(essentially) 존재(existent)한다고 여기면 모든 게 쉬워진다. 직선 역시 넓이가 0인 공간이라고 여기면 되니까.

 

여기까지 생각이 미치는데 일주일이 걸렸다... 수학적 사고가 정지된지 몇십년이 흐르다 보니 이렇게 되었다... 는 자기합리화고, 사실 똑똑하지 못해서 그런 거다. 뭐, 어쩌겠나. 타고난 머리가 거기까지이니, 무한히 시간을 투입하는 수 밖에 없다.