4장 확률과 통계(4절:기댓값) - 기본편 - 인공지능을 위한 수학

 

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기댓값(expected value)

어떤 시행(experiment)에 대해 나올만한 값에 대한 평균(average)이나 중간(median)에 가까운 값이라고 보면 간단하다. 아래의 기댓값 공식도 그 관점에서 보면 편하다.

$$ X = \{ x_1, x_2, ..., x_n \} $$ $$ E(X) = \sum_{i=1}^{n} \{P(x_i) \cdot x_i\} $$

 

X는 확률변수(random variable)이고, E(X)가 기대값 함수이다.

간단히 확률변수 X의 실제 값에 해당 확률을 곱한 값들에 대한 전체 합이 기댓값이다. 대략적으로 평균값 내지는 중간값이 나올 것 같은 느낌이 난다.

 

주사위를 예로 들어보면 감이 온다.

주사위의 확률변수는 X = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } 이고, 각 눈이 나올 확률은 공평하게 1/6 이므로...

$$ E(X) = \frac{1}{6} \cdot 1 + \frac{1}{6} \cdot 2 + \frac{1}{6} \cdot 3 + \frac{1}{6} \cdot 4 + \frac{1}{6} \cdot 5 + \frac{1}{6} \cdot 6 = 3.5 $$

 

위 수식 및 결과는 주사위 눈의 평균값을 구하는 방법과 동일해진다. 또, 주사위 눈의 중간값은 아래와 같이 구할 수 있는데,

$$ M(X) = \frac{6 + 1}{2} = 3.5 $$

역시 동일하다. (주사위의 눈은 등차수열이기 때문에 중간값과 평균값이 같다.)

 

실전에서는 이렇게 쉽게 동일할 수는 없겠지만, 확률변수의 분포가 어느 정도 이상 고르다면 기댓값 역시 평균에 수렴할 것이라는 걸 쉽게 유추할 수 있을 것이다.